Question

已知：橢圓（a＞b＞0）過（0，1）點，離心率；直線l：y=kx+m（m＞0）與圓O：x²+y²=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B，（O為坐標原點）．
Ⅰ．求橢圓C的方程及m與k的關系式m=f（k）；
Ⅱ．設=θ，且滿足，，求直線l的方程；
Ⅲ．在Ⅱ．的條件下，求三角形AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：Ⅰ．由題意可知b=1，a²=2，由此可以求出橢圓C的方程．再由直線l：y=kx+m（m＞0）與圓x²+y²=1相切，能夠導出m與k的關系式m=f（k）．
Ⅱ．由消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，然后由根的判別式和根與系數的關系求直線l的方程．
Ⅲ．|OA|為三角形的底邊，|y_B|為三角形的高，由此能夠推導出三角形AOB的面積．
解答：解：Ⅰ．∵橢圓，過（0，1）點，∴b=1，
∴a²=2，
∴橢圓C方程為：；
∵直線l：y=kx+m（m＞0）與圓x²+y²=1相切，
∴，，即；
Ⅱ．消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8k²＞0，∴k≠0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，=||•||•cosθ=••=；
又
k²=1，k=±1；∴=，
直線l的方程為：或，
Ⅲ．由Ⅱ．知k=±1；消去y得，
，由弦長公式：，
∴，
∵∴
∴直線AB過點；
∵＜＞=θ，
且∴，k_OB=tanθ=±2
∴l_OB：y=±2x，與
聯立解得：，或，
即，，
由兩點得AB的方程為：，
由前面解知：|OA|為三角形的底邊，|y_B|為三角形的高，，S_△AOB=||•|y_B|=××=．
點評：本題考查橢圓知識的綜合運用，有一定的難度，在解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．