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(2013•石家莊二模)選修4-5:不等式選講
設函數f(x)=lg(|x+1|+|x-a|-2),a∈R.
(Ⅰ)當a=-2時,求函數f(x)的定義域;
(Ⅱ)若函數f(x)的定義域為R,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)當a=-2時,由函數解析式可得|x+1|+|x-a|-2>0.令g(x)=|x+1|+|x-a|-2=
-2x-3 , x≤-2
1 ,-2<x<-1
2x+3 ,x≥-1
.由g(x)>0,求得 x的范圍,可得函數的定義域.
(Ⅱ)由題意可得,|x+1|+|x-a|>2在R上恒成立,因為|x+1|+|x-a|≥|1+a|,可得|1+a|>2,解得a的范圍.
解答:解:(Ⅰ)當a=-2時,由函數f(x)=lg(|x+1|+|x-a|-2),可得|x+1|+|x-a|-2>0.
令g(x)=|x+1|+|x-a|-2=
-2x-3 , x≤-2
1 ,-2<x<-1
2x+3 ,x≥-1
.…(3分)
若g(x)>0,則可得 x<-
5
2
,或x>-
1
2

所以,f(x)定義域為(-∞,-
5
2
)∪(-
1
2
,+∞).…(5分)
(Ⅱ)由題意,|x+1|+|x-a|>2在R上恒成立,因為|x+1|+|x-a|≥|1+a|,…(8分)
所以,|1+a|>2,解得a<-3,或a>1,
故a的范圍為(-∞,-3)∪(1,+∞).…(10分)
點評:本題主要考查絕對值的意義即絕對對值不等式的解法,求函數的定義域,函數的恒成立問題,屬于中檔題.
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