Question

4．已知二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足條件：①-4a≤b＜-2a；②x∈[-1，1]時，|f（x）|≤1，若對任意的x∈[-2，2]，都有f（x）≥m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據條件①得出a，b的符號和f（x）的對稱軸的范圍，得出f（x）在[-2，2]上的最小值f（-$\frac{b}{2a}$）=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，根據條件②和f（x）在[-1，1]上的單調性列出不等式組，從而可求出a的范圍，用a表示出$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$的最小值g（a），求出g（a）的最小值即可得出m的范圍．

解答 解：∵-4a≤b＜-2a，∴-4a＜-2a，∴a＞0，
∴b＜-2a＜0，∴1＜-$\frac{b}{2a}$≤2，
∴f（x）在[-2，-$\frac{b}{2a}$）上是減函數，在[-$\frac{b}{2a}$，2]上是增函數，
∴f（x）在[-2，2]上的最小值為f（-$\frac{b}{2a}$）=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．
∴m≤$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$恒成立．
∵x∈[-1，1]時，|f（x）|≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c≤1}\\{a+b+c≥-1}\end{array}\right.$恒成立，
∴-1-a-b≤c≤1-a+b恒成立，
又∵-4a≤b＜-2a，
∴4a²＜b²≤16a²，
1-5a≤1-a+b＜1-3a，
a-1＜-1-a-b≤3a-1，
∴3a-1≤c≤1-5a，
∴3a-1≤1-5a，解得0＜a≤$\frac{1}{4}$．
∴12a²-4a≤4ac≤4a-20a²
∴-4a²-4a≤4ac-b²＜4a-24a²，
∴-a-1≤$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜1-6a，
∴m≤-a-1恒成立，
令g（a）=-a-1，則g（a）在（0，$\frac{1}{4}$]上是減函數，
∴g_min（a）=g（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{5}{4}$
∴m≤-$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，不等式的性質，函數恒成立問題與函數最值的關系，屬于中檔題．