Question

設D、P為△ABC內的兩點，且滿足

AD

=

1

5

(

AB

+

AC

)，

AP

=

AD

+

1

10

BC

，則

S△APD

S△ABC

=

 

．

Answer 1

分析：取BC的中點E，根據條件得AD在△ABC的中線AE上，DP∥BC∴△APD的面積=

1

2

×DP×高h，△ABC的面積=

1

2

×BC×高H，而高之比h：H=AD：AE所以面積之比等于

h

H

×

AD

AE

，從而求得結果．

解答：解：取BC的中點E，連接AE，則

AB

 +

AC

=2

AE

∴

AD

=

2

5

AE

；∵

AP

=

AD

+

1

10

BC

∴

AP

-

AD

=

1

10

BC

∴

DP

=

1

10

BC

故DP∥BC且DP=

1

10

BC∴△APD與△ABC的高之比為h：H=AD：AE=2：5
S_△APD：S_△ABC=

h

H

×

DP

BC

=

2

5

×

1

10

=

1

25

故答案為：

1

25

．

點評：本題考查向量的運算的幾何意義，再根據三角形面積公式求比值．