Question

一邊長為48cm的正方形鐵片，在鐵片的四角各截去邊長為xcm的小正方形（截去的四個小正方形全等），然后制作一個無蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V表示為x的函數；
（2）求方盒的容積V的最大值，并求出取到最大值時x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知這個無蓋方盒的底面是邊長為48-2x的正方形，高為x的正四棱柱，由此能把方盒的容積V表示為x的函數．
（2）由（1）知V=（48-2x）²x，0＜x＜24，故V′=（48-2x）²-4（48-2x）x，令V′=0，得x₁=8，x₂=24（舍）．由此進行列表討論，能求出這個方盒容積的最大值和取到最大值時x的值．
解答：解：（1）∵一邊長為48cm的正方形鐵片，
在鐵片的四角各截去邊長為xcm的小正方形（截去的四個小正方形全等），
然后制作一個無蓋方盒，
∴這個無蓋方盒的底面是邊長為48-2x的正方形，高為x的正四棱柱，
∴方盒的容積V=（48-2x）²x，0＜x＜24．
（2）∵V=（48-2x）²x，0＜x＜24，
∴V′=2（48-2x）•（-2）x+（48-2x）²
=（48-2x）²-4（48-2x）x，
令V′=0，得x₁=8，x₂=24（舍）．
列表，討論

x	（0，8）	8	（8，24）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴當x=8時，方盒的容積V的取極大值V（8）=（48-2×8）²×8=8192（cm³），
∵方盒容積只有這唯一的一個極大值，∴這個極大值就是方盒容積的最大值．
故這個方盒容積的最大值是8192cm³，取到最大值時x的值為8cm．
點評：本題考查方盒容積的求法，考查利用導數求方盒容積的最大值，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．