Question

一邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵片，在鐵片的四角各截去邊長(zhǎng)為xcm的小正方形（截去的四個(gè)小正方形全等），然后制作一個(gè)無蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)；
（2）求方盒的容積V的最大值，并求出取到最大值時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知這個(gè)無蓋方盒的底面是邊長(zhǎng)為48-2x的正方形，高為x的正四棱柱，由此能把方盒的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）由（1）知V=（48-2x）²x，0＜x＜24，故V′=（48-2x）²-4（48-2x）x，令V′=0，得x₁=8，x₂=24（舍）．由此進(jìn)行列表討論，能求出這個(gè)方盒容積的最大值和取到最大值時(shí)x的值．
解答：解：（1）∵一邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵片，
在鐵片的四角各截去邊長(zhǎng)為xcm的小正方形（截去的四個(gè)小正方形全等），
然后制作一個(gè)無蓋方盒，
∴這個(gè)無蓋方盒的底面是邊長(zhǎng)為48-2x的正方形，高為x的正四棱柱，
∴方盒的容積V=（48-2x）²x，0＜x＜24．
（2）∵V=（48-2x）²x，0＜x＜24，
∴V′=2（48-2x）•（-2）x+（48-2x）²
=（48-2x）²-4（48-2x）x，
令V′=0，得x₁=8，x₂=24（舍）．
列表，討論

x	（0，8）	8	（8，24）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴當(dāng)x=8時(shí)，方盒的容積V的取極大值V（8）=（48-2×8）²×8=8192（cm³），
∵方盒容積只有這唯一的一個(gè)極大值，∴這個(gè)極大值就是方盒容積的最大值．
故這個(gè)方盒容積的最大值是8192cm³，取到最大值時(shí)x的值為8cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查方盒容積的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求方盒容積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．