Question

從橢圓上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為橢圓的左焦點F₁，M是橢圓的右頂點，N是橢圓的上頂點，且．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）若過右焦點F₂且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為A₁，直線A₁B與x軸交于點R（4，0），求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=-c，得，所以點P的坐標為（-c，），由得到離心率．
（2）設直線l的方程為：x=my+c，（m≠0），與橢圓方程，聯立得到（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由韋達定理結合題設條件能夠求出所求橢圓方程．
解答：解：（1）令x=-c，得，所以點P的坐標為（-c，），（2分）
由得到：，（4分）
所以b=c，a²=2c²，即離心率（6分）
（2）設直線l的方程為：x=my+c，（m≠0），與橢圓方程，
聯立得到：（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，（9分）
由A關于x軸的對稱點為A₁，得A₁（x₁，-y₁），
則直線A₁B的方程是：，過點R（4，0）得到：
y₁（my₂-my₁）=4（y₂+y₁）-（my₁+c）（y₂+y₁）（10分）
即：2my₁y₂=（4-c）（y₁+y₂）
所以：，
得到：c=4-c，所以：c=2（12分）
所以所求橢圓方程為：．（13分）
點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意橢圓性質的靈活運用．