Question

設a_i>0（i=1,2,…,n）.

考查①a₁·≥1,②（a₁+a₂）（+）≥4,③（a₁+a₂+a₃）（++）≥9后，歸納出對a₁,a₂,…,a_n也成立的類似不等式，并用數學歸納法加以證明.

Answer 1

分析:由①②③歸納出類似的不等式并不難，關鍵是如何證明.要注意用上歸納假設及式子的變化.

解:由①②③我們可以得出不等式

（a₁+a₂+…+a_n）（++…+）≥n²

下面用數學歸納法證明這個不等式

（1）當n=1時，由題設知不等式成立.

（2）假設當n=k（k≥1）時不等式成立，即

（a₁+a₂+…+a_k）（++…+）≥k²

那么當n=k+1時

（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（++…++…+）

=（a₁+a₂+…+a_k）（++…+）+a_k+1

（++…+）+（a₁+a₂+…+a_k）+a_k+1·≥k²+1+（+）+（+）+…+（+）≥k²+1+=k²+1+2k=（k+1）².

所以當n=k+1時，不等式成立.

由（1）（2）知，對任意的正整數n,不等式恒成立.