Question

已知數列{a_n}是等差數列，其中每一項及公差d均不為零，設aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）是關于x的一組方程：
（1）求所有這些方程的公共根；
（2）設這些方程的另一個根為m_i，求證

1

m1+1

，

1

m2+1

，

1

m3+1

，…，

1

mn+1

，…也成等差數列．

Answer 1

分析：（1）設出公共根，代入方程，再寫一個方程，兩個方程相減，即可求得結論；
（2）設另一個根，利用韋達定理，根據等差數列的定義，可得結論．

解答：（1）解：公共根為p，則aip2+2ai+1p+ai+2=0①
ai+1p2+2ai+2p+ai+3=0②
②-①，得dp²+2dp+d=0，d≠0為公差，∴（p+1）²=0．
∴p=-1是公共根；
（2）證明：設另一個根為m_i，則m_i+（-1）=

-2ai+1

ai

=-2-

2d

ai

．
∴m_i+1=-

2d

ai

，即

1

mi+1

=-

ai

2d

，
∴

1

mi+1+1

-

1

mi+1

=-

ai+1-ai

2d

=-

1

2

∴{

1

mi+1

}是以-

1

2

為公差的等差數列．

點評：本題考查等差數列的判定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．