Question

已知無窮數列{a_n}為等差數列，各項均為正數，給出方程a_ix²+2a_i+1x+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求證這些方程有一個公共根為-1；
（2）設這些方程除公共根以外的另一根為α_i，且f（n）=（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）．求證：f（n）＜

4d

a1

．（其中d為數列{a_n}的公差）

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的性質可得a_i+a_i+2=2a_i+1，x=-1代入所給方程可證明；
（2）由韋達定理可得αi•(-1)=

ai+2

ai

，由此可得a_i，進而可用a_i，d表示a_i+1，則(αi+1)(αi+1+1)=

4d2

aiai+1

=4d(

1

ai

-

1

ai+1

)，用裂項相消法可得f（n），從而可證明；

解答：（1）證明：因為{a_n}為等差數列，所以a_i+a_i+2=2a_i+1，
將x=-1代入所給方程，得a_i-2a_i+1+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
所以這些方程有一個公共根為-1；
（2）∵αi•(-1)=

ai+2

ai

，∴αi=-

ai+2

ai

，αi+1=1-

ai+2

ai

=

-2d

ai

，
∴(αi+1)(αi+1+1)=

4d2

aiai+1

=4d(

1

ai

-

1

ai+1

)，
∴（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）
=4d[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=4d(

1

a1

-

1

an+1

)＜4d•

1

a1

=

4d

a1

，即f(n)＜

4d

a1

；

點評：本題考查數列與不等式的綜合、等差數列的通項公式及數列求和，解決（2）問的關鍵時化簡f（n）．