Question

（本題滿分16分）

已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

（１）求直線PF₁的方程；

（２）求橢圓E的方程；

（３）設Q為橢圓E上的一個動點，求證：以為直徑的圓與圓相切．

Answer 1

解(1),因為在⊙上,

所以,,.

所以,⊙:.                  ……………………………………2分

易知直線的斜率存在,設直線方程:，即:

題設有:,或           ……………………………………4分

時,直線方程，令,則,不合題意(舍去)

時,直線方程:.令,則滿足題設.

所以,直線方程為:. ……………………………………6分

(2)由(1)知,所以,,①……………………………………7分

又

所以,                               ……………………………………9分

所以,                                 ……………………………………10分

橢圓的方程:.                  ……………………………………11分

（3）設的中點為,連.

則              …………………15分

所以,以為直徑的圓內切于圓,即.…………………16分