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一圓形紙片的半徑為10cm，圓心為O，F為圓內一定點，OF=6cm，M為圓周上任意一點，把圓紙片折疊，使M與F重合，然后抹平紙片，這樣就得到一條折痕CD，設CD與OM交于P點，如圖

（1）求點P的軌跡方程；
（2）求證：直線CD為點P軌跡的切線.
⑴⑵略
（1）由題意知點M、F關于直線CD對稱，可聯想橢圓的定義求點P的軌跡；（2）可用反證法來證明。
解（1）由題意知點M、F關于直線CD對稱，連結PF，則PF=NF,故PF+PO=PO+PM=10>6=OF.
故點P 的軌跡是以O、F為焦點、長軸長為10 的橢圓。以OF所在的直線為x軸，線段OF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系。易求得點P的方程為：；
（2）假設CD不是點P軌跡的切線。則直線CD與橢圓一定相交。
設Q是CD上異于P的另一個交點，
則QF+QO=QM+QO>OM，這與點Q在橢圓上矛盾，假設不成立。
故直線CD與該橢圓切于點P.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓 (a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0，0)．證明．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是到兩個焦點的距離的等比中項？并說明理由。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的焦距為，則=                。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
橢圓與直線相交于、兩點，且（為坐標原點）.（Ⅰ）求證：等于定值；
（Ⅱ）當橢圓的離心率時，求橢圓長軸長的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的離心率為，若直線與橢圓的一個交點的橫坐標為b，則k的值為（　　）。
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓上一點與其中心及長軸的一個端點構成等腰直角三角形，則此橢圓的離心率為（ ▲ ）
A．B．　C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知平面內動點P到兩定點F1，F2的距離的和等于常數2a，關于動點P的軌跡正確的說法是______．
①點P的軌跡一定是橢圓；
②2a＞|F1F2|時，點P的軌跡是橢圓；
③2a=|F1F2|時，點P的軌跡是線段F1F2；
④點P的軌跡一定存在；
⑤點P的軌跡不一定存在．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知p：方程
x2
m-1
+
y2
m+3
=1表示橢圓，q：方程x2+y2-4x+2my+m+6=0表示圓，若p真q假，求實數m的取值范圍．

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同步練習冊答案
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