Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對值的意義，將函數(shù)化成分段函數(shù)形式，再結(jié)合函數(shù)的圖象即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，將兩個方程聯(lián)解，結(jié)合一元二次方程根的判斷式，得當a=-

3

4

時直線y=x+a與曲線y=-x²+4x-3相切于點A（

3

2

，

3

4

）．再根據(jù)a=-1時，直線y=x+a經(jīng)過點B（1，0）與y=f（x）圖象也有三個公共點，由此結(jié)合函數(shù)圖象的變化，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=|x²-4x+3|=

x2-4x+3     (x≤1) -x2+4x-3    (1＜x＜3) x2-4x+3      (x≥3)

∴當x≤1時，函數(shù)為減函數(shù)；當1≤x≤2時，函數(shù)為增函數(shù)；
當2≤x≤3時，函數(shù)為減函數(shù)；當x≥3時，函數(shù)為增函數(shù)
由此可得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，2]和[3，+∞），
遞減區(qū)間為（-∞，1]和[2，3]
（2）關(guān)于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，
由y=x+a和y=-x²+4x-3，消去y，得x²-3x+3+a=0，
由△=9-4（3+a）=0，得a=-

3

4

，
∴當a=-

3

4

時，直線y=x+a與曲線y=-x²+4x-3相切于點A（

3

2

，

3

4

），
又∵直線y=x+a經(jīng)過點B（1，0）時，兩圖象也有三個公共點，此時a=-1
∴當直線y=x+a位于點A、B之間（含邊界）時，兩圖象至少有三個不同的交點
由此，結(jié)合函數(shù)圖象可得a∈[-1，-

3

4

]．

點評：本題給出含有絕對值的二次函數(shù)形式，討論函數(shù)的單調(diào)性并求關(guān)于x的方程根的個數(shù)，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)圖象與直線的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．