Question

若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函數f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過同一個定點，則當

1

a

+

1

b

取最小值時，函數f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

分析：解決問題的關鍵是求出參數a的值，由直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函數f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過同一個定點，得該定點的坐標是（-1，2），從而知a+2b=2，變形得

1

2

a+b=1，再用1的變換將

1

a

+

1

b

構造成可用基本不等式求最值的形式，利用等號相等的條件得到參數a，b的另一個方程，與a+2b=2聯立求得a值，即可求得函數解析式．

解答：解：函數f（x）=a^x+1+1的圖象恒過（-1，2），故

1

2

a+b=1，
∴

1

a

+

1

b

=（

1

2

a+b）（

1

a

+

1

b

）=

3

2

+

b

a

+

a

2b

≥

3

2

+

2

．
當且僅當b=

2

2

a時取等號，將b=

2

2

a代入

1

2

a+b=1得a=2

2

-2，
故f（x）=（2

2

-2）^x+1+1．
故答案應為：f（x）=（2

2

-2）^x+1+1

點評：本題考點是選定系數法求函數的解析式，本題綜合性較強涉及到了指數函數的性質，基本不等式求最小值，知識覆蓋廣，技巧性強，應仔細體會各個知識之間的轉化連接點．