Question

已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E、F分別在邊BC、DC上，

BE

=λ

BC

，

DF

=μ

DC

，若

AE

•

AF

=1，

CE

•

CF

=-

2

3

，則λ+μ=（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  5

  6

• D、

  7

  12

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的定義由

AE

•

AF

=1，求得4λ+4μ-2λμ=3 ①；再由

CE

•

CF

=-

2

3

，求得-λ-μ+λμ=-

2

3

②．結合①②求得λ+μ的值．

解答：解：由題意可得若

AE

•

AF

=（

AB

+

BE

）•（

AD

+

DF

）=

AB

•

AD

+

AB

•

DF

+

BE

•

AD

+

BE

•

DF

 
=2×2×cos120°+

AB

•μ

AB

+λ•

AD

•

AD

+λ

AD

•μ

AB

=-2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ-2λμ-2=1，
∴4λ+4μ-2λμ=3 ①．

CE

•

CF

=-

EC

•（-

FC

）=

EC

•

FC

=（1-λ）

BC

•（1-μ）

DC

=（1-λ）

AD

•（1-μ）

AB

=（1-λ）（1-μ）×2×2×cos120°=（1-λ-μ+λμ）（-2）=-

2

3

，
即-λ-μ+λμ=-

2

3

 ②．
由①②求得λ+μ=

5

6

，
故答案為：

5

6

．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的定義，屬于中檔題．