Question

（2012•濟南二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos

A

2

=

2 5

5

，

AB

•

AC

=3．
（1）求△ABC的面積；
（2）若c=1，求a、sinB的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式，計算cosA，再利用數量積公式，求得bc的值，進而利用三角形的面積公式，可得結論；
（2）先求b，利用余弦定理求a，再利用正弦定理，可求sinB的值．

解答：解：（1）∵cos

A

2

=

2 5

5

，
∴cosA=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

，…（2分）
而

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=

3

5

bc=3，∴bc=5…（4分）
又A∈（0，π），∴sinA=

4

5

，…（5分）
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×

4

5

=2．…（6分）
（2）∵bc=5，而c=1，∴b=5．…（8分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=20，a=2

5

…（10分）
又

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

bsinA

a

=

5× 4 5

2 5

=

2 5

5

．…（12分）

點評：本題考查三角形面積的計算，考查余弦、正弦定理的運用，正確運用余弦、正弦定理是關鍵．