Question

如圖在邊長為2

2

的正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，若△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐A-DEF以后，以下命題錯誤的是（　　）

• A．HG與IJ所成角為60°
• B．HG⊥AF
• C．三棱錐A-DEF的體積為

  1

  3

• D．三角形DEF的面積為

  3

Answer 1

分析：△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，I，J分別為BE、DE的中點，則IJ∥側棱，故GH與IJ所成角與側棱與GH所成的角相等．AD為折成三棱錐的側棱，則GH與IJ所成角的度數為60°；由HG∥BC，AF⊥BC，知HG⊥AF；邊長為2

2

的正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，能求出三角形DEF的面積和三棱錐A-DEF的體積．

解答：解：將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，
I、J分別為BE、DE的中點，則IJ∥側棱，
故GH與IJ所成角與側棱與GH所成的角相等；
AD為折成三棱錐的側棱，因為∠AHG=60°，
故GH與IJ所成角的度數為60°，故A正確；
∵HG∥BC，AF⊥BC，∴HG⊥AF，故B正確；
∵邊長為2

2

的正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，
∴三角形DEF的面積S=

1

2

×

2

×

2

×sin60°=

3

2

，
三棱錐A-DEF的體積V=

1

3

×

3

2

×

2- 2 3

=

1

3

，故C正確，D錯誤．
故選D．

點評：本題主要考查了兩直線所成角，考查了兩直線的位置關系的判斷，考查了三角形面積和三錐錐體的計算，解題的關鍵就是弄清翻折后的圖形，屬于中檔題．