Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數y=(

1

2

)x的圖象上，且數列{a_n} 是a₁=1，公差為d的等差數列．
（1）證明：數列{b_n} 是公比為(

1

2

)d的等比數列；
（2）若公差d=1，以點P_n的橫、縱坐標為邊長的矩形面積為c_n，求最小的實數t，若使c_n≤t（t∈R，t≠0）對一切正整數n恒成立；
（3）對（2）中的數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個3，a₂與a₃之間插入2¹個3，a₃與a₄之間插入2²個3，…，依此類推），得到一個新的數列{d_n}，設S_n是數列{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件以及等差數列的基本性質，先求出b_n的通項公式，然后證明為常數即可證明；
（2）先求出b_n的通項公式，然后求出c_n的表達式，可知數列c_n從第二項起隨n增大而減小，故c_n≤c₂，即t=c₂，便可求出t的最小值；
（3）根據題意先求出d_n的表達式，然后求出S_n的表達式，繼而可以求得S₁₀₀₀的值．

解答：解：（1）由已知bn=(

1

2

)an，（1分）
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常數），（4分）
所以數列b_n是等比數列．（5分）
（2）公差d=1，則a_n=n，得bn=(

1

2

)n，
∴cn=n(

1

2

)n，（7分）
cn-cn+1=n(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1=(

1

2

)n

n-1

2

≥0，
∴c₁=c₂＞c₃＞c₄＞c_n，
數列c_n從第二項起隨n增大而減�。�10分）
∴又c1=c2=

1

2

，則

1

2

≤t．最小的實數t等于

1

2

（12分）
（3）∵a_n=n，
∴數列d_n中，從第一項a₁開始到a_k為止（含a_k項），
共有k+2⁰+2¹++2^k-2=k+2^k-1-1項，（14分）
k=10時k+2^k-1-1=521（15分）
k=11時k+2^k-1-1=1034＞1000（16分）
∴S₁₀₀₀=（1+2+10）+990×3=3025（18分）

點評：本題考查了等差數列和等比數列的基本性質以及函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．