Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，點E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面積為

2

2

．
（1）A₁C與底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC與BD的交點為M，點T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的長．

Answer 1

分析：（1）連接EM，根據線面平行的性質可知A₁C∥EM，易知∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角，在△A₁CA中，求出此角即可；
（2）建立直角坐標系D-xyz則求出E，B，M的坐標，設T點的坐標為（0，1，z），根據BE⊥MT則

EE

•

MT

=0求出z，根據向量的模就是線段的長即可求出MT的長．

解答：解：（1）如圖所示，連接EM因為A₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，
所以A₁C∥EM；又M為AC的中點，故E為AA₁的中點
∴S△EBD=

1

2

×

2

•ME=

2

2

則ME=1
∵AA₁⊥底面ABCD∴∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角
在△A₁CA中，A₁C=2EM=2
cos∠A₁CA=

2

2

∴A₁C與底面ABCD所成角的大小45°
（2）如圖建立直角坐標系D-xyz則E（1，0，

2

2

），B（1，1，0），M（

1

2

，

1

2

，0）設T點的坐標為（0，1，z）
故

BE

=（0，-1，

2

2

），

MT

=（-

1

2

，

1

2

，z）
∵BE⊥MT∴

EE

•

MT

=0
∴-

1

2

+

2

2

z=0
∴z=

2

2

∴點T的坐標為（0，1，

2

2

）

MT

=（-

1

2

，

1

2

，

2

2

）∴|

MT

|=1
故MT=1

點評：本題考查直線與平面平行的性質，直線與平面所成的角，線段長的度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力．