Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與＝（3，－1）共線．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且（），證明為定值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，直線AB：y=x－c，

聯(lián)立消去y可得：，

令A()，B ()，

則，，

向量=(，), 與向量＝（3，－1）共線，

所以3（）+（）=0，

即3（－2c）+（）=0，

4（）－6c=0，

化簡得：，

所以離心率為=。

（2）橢圓即： ①

設(shè)向量=(x，y)，=()，=()

(x，y)=λ()+μ()

即：x=，y= 

M在橢圓上，把坐標代入橢圓方程① 得 ②

直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立得，由（1）

已證，所以

所以=，=，

而A，B在橢圓上 ， 

全部代入②整理可得 為定值。

考點：本題主要考查向量共線的條件，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：典型題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，通過聯(lián)立方程組得到一元二次方程，應(yīng)用韋達定理可實現(xiàn)整體代換，簡化解題過程。