Question

【題目】（附加題，本小題滿分10分，該題計入總分）

已知函數，若在區間內有且僅有一個，使得成立，則稱函數具有性質．

（1）若，判斷是否具有性質，說明理由；

（2）若函數具有性質，試求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）具有性質; （Ⅱ）或或

【解析】

試題（Ⅰ）具有性質．若存在，使得，解方程求出方程的根，即可證得；（Ⅱ）依題意，若函數具有性質，即方程在上有且只有一個實根．設，即在上有且只有一個零點．討論的取值范圍，結合零點存在定理，即可得到的范圍．

試題解析：（Ⅰ）具有性質．

依題意，若存在 ，使，則 時有，即，，．由于 ，所以．又因為區間內有且僅有一個，使成立，所以具有性質5分

（Ⅱ）依題意，若函數具有性質，即方程在上有且只有一個實根．

設，即在上有且只有一個零點．

解法一：

（1）當時，即時，可得在上為增函數，

只需解得交集得．

（2）當時，即時，若使函數在上有且只有一個零點，需考慮以下3種情況：

（ⅰ）時，在上有且只有一個零點，符合題意．

（ⅱ）當即時，需解得交集得．

（ⅲ）當時，即時，需解得交集得．

（3）當時，即時，可得在上為減函數

只需解得交集得．

綜上所述，若函數具有性質，實數的取值范圍是或或14分

解法二：

依題意，

（1）由得，，解得或．

同時需要考慮以下三種情況：

（2）由解得．

（3）由解得不等式組無解．

（4）由解得解得．

綜上所述，若函數具有性質，實數的取值范圍是或

或14分．