Question

已知數組（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅）是1，2，3，4，5五個數的一個排列，如數組（1，4，3，5，2）是符合題意的一個排列．規定每一個排列只對應一個數組，且在每個數組中有且僅有一個使a_i=i（i=1，2，3，4，5），則所有不同的數組中的各數字之和為

675

．

Answer 1

分析：根據題意，分析可得滿足a_i=i，即該數字的大小與位置相同的情況有5種，再舉例a₁=1，由分步計數原理計算可得a₁=1時，滿足題意的數組的個數，由滿足a_i=i的情況數目，計算可得滿足題意的數組的個數，又由每個數組里，各數字之和為1+2+3+4+5=15，將其相乘，即可得答案．

解答：解：根據題意，每一個排列只對應一個數組，且在每個數組中有且僅有一個使a_i=i，
則a_i=i，即該數字的大小與位置相同的情況有5種，剩余的4個數字的大小與位置均不相同，
假設a₁=1，即1在第一個位置，則2、3、4、5四個數字分別放在第2、3、4、5的位置，
數字2有3種放法，若放在位置3，則數字3有3種放法，數字4、5只有1種放法，
即a₁=1時，有3×3=9個滿足題意的數組，
則滿足題意的數組共有5×9=45個，
每個數組里，各數字之和為1+2+3+4+5=15，
則所有不同的數組中的各數字之和為45×15=675；
故答案為675．

點評：本題考查排列、組合的應用，難點在于理解“每個數組中有且僅有一個使a_i=i”的含義，分析得到滿足題意的數組的個數．