Question

4．已知x=-3，x=1是函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的兩個相鄰的極值點，且f（x）在x=-1處的導數f'（-1）＞0，則f（0）=（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 f（x）的周期為2×（3+1）=8，解出ω，由f（x）在x=-1處的導數f'（-1）＞0，得函數f（x）在[-3，1]遞增，f（1）=1，φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，即f（0）=sin（φ）即可

解答 解：∵x=1，x=-3是函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）兩個相鄰的兩個極值點，
∴f（x）的周期T═2×（1+3）=8，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{π}{4}$，
∵f（x）在x=-1處的導數f'（-1）＞0，∴函數f（x）在[-3，1]遞增，
∴f（1）=1，∴ω+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，
f（0）=sin（$\frac{π}{4}$+2kπ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質，導數與函數單調性的關系，屬于中檔題