Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（α為參數），曲線C2的參數方程為（β為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線C1和C2的極坐標方程；

（2）若點A在曲線C1上，點B在曲線C2上，且∠AOB，求|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）ρ＝4cosθ，ρ＝2cosθ．（2）4+2．

【解析】

（1）利用，消去參數化為普通方程，再將直角坐標方程化為極坐標方程；

（2）設出的極坐標方程，利用極坐標意義可得出，運用三角恒等變換，化簡，即可求解.

（1）曲線C1的參數方程為（α為參數），

消去參數α，可得直角坐標方程：（x﹣2）2+y2＝4，

即x2+y2﹣4x＝0，把x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入可得極坐標方程：

ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．

曲線C2的參數方程為（β為參數），

消去參數β，可得直角坐標方程：（x﹣1）2+y2＝1，

即x2+y2﹣2x＝0，把x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入。

可得極坐標方程：ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．

（2）若點A在曲線C1上，點B在曲線C2上，且∠AOB，

設

則ρB＝2cosθ，ρA＝4cos（θ）

則|OA||OB|＝2cosθ×4cos（θ）＝8cosθ（cosθ-sinθ）

＝4（cos2θ-sinθcosθ）＝4）

＝4+2．

∴時，|OA||OB|取得最大值4+2．