Question

【題目】已知動圓與圓： 相切，且與圓： 相內切，記圓心的軌跡為曲線.設為曲線上的一個不在軸上的動點， 為坐標原點，過點作的平行線交曲線于, 兩個不同的點.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；

（Ⅲ）記的面積為， 的面積為，令，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）圓心的軌跡： ；

（2）和的比值為一個常數，這個常數為；

（3）當時， 取最大值.

【解析】試題分析：（1）根據兩圓相切得圓心距與半徑之間關系： ，消去半徑得，符合橢圓定義，由定義可得軌跡方程（2）探究問題，實質是計算問題，即利用坐標求和的比值：根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，利用兩點間距離公式及韋達定理、弦長公式可得和的表達式，兩式相比即得比值（3）因為的面積的面積，所以，利用原點到直線距離得三角形的高，而底為弦長MN（2中已求），可得面積表達式，為一個分式函數，結合變量分離法（整體代換）、基本不等式求最值

試題解析：解：（1）設圓心的坐標為，半徑為，

由于動圓一圓相切，且與圓相內切，所以動圓與圓只能內切

∴

∴圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

∴

故圓心的軌跡．

（2）設，直線，則直線，

由可得： ，∴，

∴

由可得： ，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值為一個常數，這個常數為．

（3）∵，∴的面積的面積，∴，

∵到直線的距離，

∴．1

令，則， ，

∵（當且僅當，即，亦即時取等號）

∴當時， 取最大值．1