Question

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。  

（Ⅰ）當時，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求值；若不在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）存在，使得對任意的，都有成立，證明略

【解析】解：本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎知識，

考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力。（12分）

依題意，可設直線MN的方程為，則有

由消去x可得                      ……………2分   

從而有          ①

于是    ②

又由，可得  ③…………4分   

（Ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線

此時 ①可得         ……………5分

 

證法1：

         ……………6分

 

證法2：

             …………6分

         

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有

                            ………8分  

    ………10分

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立                                                                                                                  ……………12分

證法2：如圖2，連接,則由可得

,

所以直線經(jīng)過原點O，同理可證直線也經(jīng)過原點O   ……………9分

 

又設

則            …………12分