Question

在直線y=x-2上是否存在點P，使得經過點P能作出拋物線y=

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x2的兩條互相垂直的切線？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：假設這樣的點P存在，由題意可設點P坐標為P（m，m-2），又設所作的兩條切線為PA，PB，其中A，B為切點，且點A，B的坐標分別為：A(a，

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a2)，B(b，

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b2)．因為函數y=

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x2的導函數為y'=x，所以由兩切線垂直可得ab=-1，由此能夠推導出存在這樣的點P，其坐標為P(

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，-

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)．

解答：解：假設這樣的點P存在，由題意可設點P坐標為P（m，m-2），又設所作的兩條切線為PA，PB，其中A，B為切點，且點A，B的坐標分別為：A(a，

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a2)，B(b，

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2

b2)．
因為函數y=

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2

x2的導函數為y'=x，
所以由兩切線垂直可得ab=-1，
且：

1 2 a2-(m-2) a-m =a 1 2 b2-(m-2) b-m =b

即，

a2-2ma+2(m-2)=0 b2-2mb+2(m-2)=0

．
故a，b是方程x²-2mx+2（m-2）=0的兩實數根，
從而有：ab=2（m-2）=-1．解得：m=

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．
所以，存在這樣的點P，其坐標為P(

3

2

，-

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2

)．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關知識．