Question

已知數列{a_n}滿足以下兩個條件：①點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，②首項a₁是方程3x²-4x+1=0的整數解，
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）數列{a_n}的前n項和為S_n，等比數列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，數列{b_n}的前n項和為T_n，解不等式T_n≤S_n．

Answer 1

分析：（I）根據已知a₁=1，a_n+1=a_n+2，所以數列{a_n}是一個等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（II）數列{a_n}的前n項和S_n=n²，b_n=3^n-1，所以數列{b_n}的前n項和Tn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，由T_n≤S_n，知

3n-1

2

≤n2，由此能解出n的值．

解答：解：（I）根據已知a₁=1，a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2=d，（2分）
所以數列{a_n}是一個等差數列，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1（4分）
（II）數列{a_n}的前n項和S_n=n²（6分）
等比數列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，所以q=3，b_n=3^n-1（9分）
數列{b_n}的前n項和Tn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

（11分）
T_n≤S_n即

3n-1

2

≤n2，又n∈N^*，所以n=1或2（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列前n項和的應用．