Question

（2011•成都二模）某電視臺擬舉行“團隊共享”沖關比賽，其規則如下：比賽共設有“常識關”和“創新關”兩關，每個團隊共兩人，每人各沖一關，“常識關”中有2道不同必答題，“創新關”中有3道不同必答題；如果“常識關”中的2道題都答對，則沖“常識關”成功且該團隊獲得單項獎勵900元，否則無獎勵；如果“創新關”中的3道題至少有2道題答對，則沖“創新關”成功且該團隊獲得單項獎勵1800元，否則無獎勵．現某團隊中甲沖擊“常識關”，乙沖擊“創新關”，已知甲回答“常識關”中每道題正確的概率都為

2

3

，乙回答“創新關”中每道題正確的概率都為

1

2

，且兩關之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨立．
（I）求此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵的概率；
（Ⅱ）記此沖關團隊獲得的獎勵總金額為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）記“此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵”為事件E，事件E發生即“常識關”和“創新關”兩關中都恰有一道題答正確，根據相互獨立事件的概率公式解之即可；
（II）隨機變量ξ取值為0，900，1800，2700，然后根據n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答：解：（I）記“此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵”為事件E，事件E發生即“常識關”和“創新關”兩關中都恰有一道題答正確．
P(E)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

6

．（6分）
（II）隨機變量ξ取值為0，900，1800，2700．
P（ξ=0）=[1-（

2

3

）²][（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

5

18

；
P（ξ=900）=（

2

3

）²[（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

2

9

；
P（ξ=1800）=[（

1

3

）²+

C

1 2

×

1

3

×

2

3

][（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

5

18

；
P（ξ=2700）=（

2

3

）²[（

1

2

）³+

C

1 3

×

1

2

×（

1

2

）²]=

2

9

；
∴ξ的分布列為

ξ	0	900	1800	2700
P	5 18	2 9	5 18	2 9

Eξ=0×

5

18

+900×

2

9

+1800×

5

18

+2700×

2

9

=1300

點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了計算能力，屬于中檔題．