Question

【題目】已知的兩個頂點，的坐標分別為，，圓是的內切圓，在邊，，上的切點分別為，，，，動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設直線與曲線交于，兩點，點在曲線上，是坐標原點，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形的面積為定值.

【解析】

（1）根據條件得動點滿足的等式，再根據橢圓定義求軌跡方程，注意根據三角形去掉軸上的點，（2）先確定直線斜率存在，再設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及向量坐標關系得D坐標，代入橢圓方程得，最后利用點到直線距離公式得高，利用弦長公式得底邊邊長，根據平行四邊形面積公式得結果.

解：（1）由題意：，，∴ ，

∴動點的軌跡是以，為焦點的橢圓（不含軸上的點），

∴曲線的方程為；

（2）①當直線的斜率不存在時，點在軸上，不在曲線上，故不合題意；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，，，

聯立方程可得：，

則，，，

∴，∴，即：，

此時，

，

設點到直線的距離為，則，

∴四邊形的面積為：，

故四邊形的面積為定值.