Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c邊最長，并且＋＝1．

(Ⅰ)求證：△ABC為直角三角形；

(Ⅱ)當c＝1時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：∵c邊為最長邊，∴A、B均為銳角． 　　由sin2A＋sin2B＝1得sin2A＝cos2B． 　　∵sinA、cosB均為正數(shù)，∴sinA＝cosB． 　　∴sinA＝，又A，－B∈(0，)，∴A＝－B． 　　∴A＋B＝，即C＝．所以三角形ABC為直角三角形． 　　(Ⅱ)解：三角形ABC的面積S＝ab＝·2ab≤(a2＋b2)． 　　由于a2＋b2＝c2＝1． 　　∴S≤．當且僅當a＝b＝時，上式取等號． 　　所以三角形ABC面積的最大值為．