Question

試題大類：高考真題；題型：解答題；學期：2008年；單元：2008年普通高等學校夏季招生考試數學文史類（重慶卷）；知識點：空間直線和平面；難度：較難；其它備注：20主觀題；分值：12$如圖,α和β為平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角α-l-β的大小為,求:

(1)點B到平面α的距離;

(2)異面直線l與AB所成的角(用反三角函數表示).

Answer 1

解:(1)如圖(1),過點B′作直線B′C∥A′A且使B′C=A′A.

(1)

過點B作BD⊥CB′,交CB′的延長線于D.

由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l,故l⊥平面BB′D,得BD⊥l.

又因BD⊥CB′,從而BD⊥平面α,BD之長即為點B到平面α的距離.

因B′C⊥l且BB′⊥l,

故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角.

由題意,∠BB′C=,因此在Rt△BB′D中,BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sin∠BB′D =.

(2)連接AC、BC.因B′C∥A′A,B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′為矩形,故AC∥l.所以∠BAC或其補角為異面直線l與AB所成的角.

在△BB′C中,B′B=2,B′C=3,∠BB′C=,則由余弦定理,

BC==.

因BD⊥平面α,且DC⊥CA,由三垂線定理知AC⊥BC,

故在△ABC中,∠BCA=,sin∠BAC=.

因此,異面直線l與AB所成的角為arcsin.