Question

函數y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，當x∈M時，則f（x）=2^x+2-3×4^x的最大值為

25

12

．

Answer 1

分析：根據對數函數的性質可得3-4x+x²＞0，求出集合M，再根據換元法求出f（x）的最值；

解答：解：函數y=lg（3-4x+x²）的定義域為M，
∴3-4x+x²＞0，即（x-1）（x-3）＞0，
解得M={x|x＞3或x＜1}，
∴f（x）=2^x+2-3×4^x，令2^x=t，0＜t＜2或t＞8，
∴f（t）=-3t²+t+2=-3（t-

1

6

）²+

25

12

^，
當t=

1

6

時，f（t）取最大值，
f（x）_max=f（

1

6

）=

25

12

，
故答案為：

25

12

；

點評：此題主要考查函數的定義域及值域，利用了換元法這一常用的方法，此題是一道基礎題；