Question

紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設各盤比賽結果相互獨立．
（Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；
（Ⅱ）用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由題意知紅隊至少有兩名隊員獲勝包括四種情況，一是只有甲輸，二是只有乙輸，三是只有丙輸，四是三個人都贏，這四種情況是互斥的，根據相互獨立事件同時發生的概率和互斥事件的概率得到結果．
（II）由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件寫出變量對應的概率，變量等于2使得概率可以用1減去其他的概率得到，寫出分布列，算出期望．

解答：解：（I）設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，
∵甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5
可以得到D，E，F的對立事件的概率分別為0.4，0，5，0.5
紅隊至少兩名隊員獲勝包括四種情況：DE

.

F

，D

.

E

F，

.

D

EF，DEF，
這四種情況是互斥的，
∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55
（II）由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.4×0.5×0.5=0.1．，
P（ξ=1）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35
P（ξ=3）=0.6×0.5×0.5=0.15
P（ξ=2）=1-0.1-0.35-0.15=0.4
∴ξ的分布列是

∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6

點評：本題考查互斥事件的概率，考查相互獨立事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時注意對立事件概率的使用，一般遇到從正面解決比較麻煩的，就選擇利用對立事件來解決．