Question

橢圓mx²+ny²=1與直線y=-x+1相交于A、B兩點，過原點和線段AB中點的直線斜率為

2

2

，則

n

m

的值是（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  2

  9

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）中點為P（x₀，y₀），根據經過兩點的斜率公式，算出

y0

x0

=

2

2

且

y1-y2

x1-x2

=-1，由中點坐標公式和橢圓方程加以聯解，可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（y₁-y₂）•2y₀=0，即可算出

n

m

的值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）中點為P（x₀，y₀），
∴k0P=

y0

x0

=

2

2

①，k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-1②，
由AB的中點為P可得x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由M，N在橢圓上，可得

mx12+ny12=1 mx2 2+ny2 2=1

，
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0③，
把①、②代入③，可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（y₁-y₂）•2y₀=0③，
整理可得

n

m

=

2

故選：A

點評：本題給出橢圓的弦中點所在直線的方程，求

n

m

的值．主要考查了直線與橢圓相交的位置關系，屬于中檔題．在涉及到與弦的斜率及中點有關時的常用方法有兩個：①聯立直線與橢圓，根據方程求解；②利用“點差法”，請同學們在解題時加以注意．