Question

橢圓mx²+ny²=1與直線x+y-1=0相交于A，B兩點，過AB中點M與坐標原點的直線的斜率為

2

2

，則

m

n

的值為（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  2 3

  3

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：（法一）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）由KOP=

y0

x0

=

2

2

①，

y2-y1

x2-x1

=-1②及M，N在橢圓上，可得

mx12+ny12=1 mx22+ny22=1

利用點差法進行求解
（法二）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），聯立方程

mx2+ny2=1 x+y-1=0

．，利用方程的根與系數的關系可求x₁+x₂，進而可求y₁+y₂=2-（x₁+x₂），由中點坐標公式可得，x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，由題意可知

y0

x0

=

m m+n

n m+n

，從而可求

解答：解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
∴KOP=

y0

x0

=

2

2

①，
k_MN=

y2-y1

x2-x1

=-1②，
由AB 的中點為M可得x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由M，N在橢圓上，可得

mx12+ny12=1 mx22+ny22=1

，
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0③，
把①②代入③可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（x₁-x₂）•2y₀=0③，
整理可得

m

n

=

2

2

故選A
（法二）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
聯立方程

mx2+ny2=1 x+y-1=0

可得（m+n）x²-2nx++n-1=0
∴x₁+x₂=

2n

m+n

，y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=

2m

m+n

由中點坐標公式可得，x0=

x1+x2

2

=

n

m+n

，y0=

y1+y2

2

=

m

m+n

∵M與坐標原點的直線的斜率為

2

2

∴

y0

x0

=

m m+n

n m+n

=

m

n

=

2

2

故選A

點評：題主要考查了直線與橢圓相交的位置關系，在涉及到與弦的斜率及中點有關時的常用方法有兩個：①聯立直線與橢圓，根據方程求解；②利用“點差法”，而第二種方法可以簡化運算，注意應用