Question

若函數f（x）在定義域（-1，1）內可導，且f′（x）＜0；又對任意a、b∈（-1，1）且a+b=0時恒有f（a）+f（b）=0，
（1）判斷函數奇偶性
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0．

Answer 1

分析：（1）由已知中f′（x）＜0，我們易得在區間（-1，1）上為減函數，結合a+b=0時恒有f（a）+f（b）=0，我們易得f（-x）=-f（x），進而得到答案．
（2）由（1）的結論，我們易根據函數的奇偶性及函數的單調性和定義域，構造出滿足條件的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）∵f′（x）＜0；
∴f（x）在（-1，1）上是減函數（2分）
∵a、b∈（-1，1）且a+b=0，恒有f（a）+f（b）=0，
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數（5分）
（2）f（1-m）+f（1-m²）＞0?f（1-m）＞-f（1-m²）=f（m²-1）．（7分）
∴

1-m＜m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1

（10分）　　　
解得：1＜m＜

2

（13分）
所以原不等式的解集為(1，

2

)（14分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性和奇偶性的綜合應用，在解答（2）時，易忽略函數的定義域為（-1，1），而錯解為（-∞，-2）∪（1，+∞）．