Question

【題目】設數列{an}是各項均為正數的等比數列，其前n項和為Sn ， 若a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）對于正整數k，m，l（k＜m＜l），求證：“m=k+1且l=k+3”是“5ak ， am ， al這三項經適當排序后能構成等差數列”成立的充要條件；
（3）設數列{bn}滿足：對任意的正整數n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6，且集合 中有且僅有3個元素，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比是q，

∵數列{an}是各項均為正數的等比數列，∴ ，解得a3=8，

又∵S5﹣S3=48，∴ ，解得q=2，

∴ ；

（2）解：（�。┍匾�性：設5ak，am，al這三項經適當排序后能構成等差數列，

①若25ak=am+al，則102k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，

∴ ，∴ ．

②若2am=5ak+al，則22m=52k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左邊為偶數，等式不成立，

③若2al=5ak+am，同理也不成立，

綜合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立

（ⅱ）充分性：設m=k+1，l=k+3，

則5ak，am，al這三項為5ak，ak+1，ak+3，即5ak，2ak，8ak，

調整順序后易知2ak，5ak，8ak成等差數列，

所以充分性也成立．

綜合（�。�（ⅱ），原命題成立

（3）解：因為 ，

即 ，①

∴當n≥2時， ，②

則②式兩邊同乘以2，得 ，③

∴①﹣③，得2bn=4n﹣2，即bn=2n﹣1（n≥2），

又當n=1時， ，即b1=1，適合bn=2n﹣1（n≥2），

∴bn=2n﹣1．…14分

∴ ，∴ ，

∴n=2時， ，即 ；

∴n≥3時， ，此時 單調遞減，

又 ， ， ， ，∴ ．

【解析】1、根據等比數列中項的性質得到a 1 a 5 = a 3 2 = 64，得到a3=8，再根據S5﹣S3=a 4+ a 5 =48解得q=2得到等比數列的通項公式。
2、由已知可得先證明必要性，利用an都是整數的性質分別討論5ak,,am, al不同的排序情況。充分性，適當對5ak,,am, al進行排列可得結論。
3、根據對遞推公式的變換求出數列{bn}的通項公式再通過數列{}的通項公式判斷該數列的單調性進而確定M的元素即得出的取值范圍。