Question

已知圓x²+y²+2ax-2ay+2a²-2a=0（0＜a≤4）的圓心為C，直線l：y=kx+4．
（1）若k=1，求直線l被圓C所截得的弦長的最大值；
（2）若直線l與圓C相切，切點為T，點P（0，4），求線段PT的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程轉化為標準方程求得圓心C的坐標和半徑，再求得圓心C到直線l的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系，最后由二次函數法求解．
（2）根據切線長公式求出線段PT的關系式，然后利用二次函數法求解．

解答：解：（1）（x+a）²+（y-a）²=2a（0＜a≤4）．…．（1分）
圓心C（-a，a），半徑r=

2a

，l：y=x+4，…．（3分）
圓心C到直線l的距離d=

|-2a+4|

2

，…．（5分）
∴l被圓C截得的弦長=2

r2-d2

=2

2a-2(a-2)2

=2

2

-a2+5a-4

…．（7分）
=2

2

-(a- 5 2 )2+ 9 4

，∴當a=

5

2

時l被圓C截得弦長的最大值為3

2．

…．（10分）
（2）∵點P在直線l上，∴PT為的圓C切線長…．（11分）PT=

PC2-r2

=

a2+(a-4)2-2a

=

2(a2-5a+8)

…．（13分）
=

2(a- 5 2 )2+ 7 2

∵0＜a≤4，∴

14

2

≤PT＜4．…．…（16分）

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了直線與圓相切構建了函數模型，求參數的范圍，本題利用二次函數法求函數的最值和范圍，是常用的方法．