Question

15．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}$（t為參數）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ） 求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 將直線l的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}$消去t參數，可得直線l的普通方程，將ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，帶入ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）可得曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）法一：設曲線C上的點為$P（{1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα}）$，點到直線的距離公式建立關系，利用三角函數的有界限可得最大值．
法二：設與直線l平行的直線為l'：x+y+b=0，當直線l'與圓C相切時，得$\frac{{|{1+1+b}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，點到直線的距離公式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ） 由直線l的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}$消去t參數，得x+y-4=0，
∴直線l的普通方程為x+y-4=0．
由$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-&\frac{π}{4}}）$=$2\sqrt{2}（{cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}}）=2cosθ+2sinθ$．
得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ．
將ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，
得：曲線C的直角坐標方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ） 法1：設曲線C上的點為$P（{1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα}）$，
則點P到直線l的距離為$d=\frac{{|{1+\sqrt{2}cosα+1+\sqrt{2}sinα-4}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{\sqrt{2}（{sinα+cosα}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{2sin（{α+\frac{π}{4}}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$
當$sin（{α+\frac{π}{4}}）=-1$時，${d_{max}}=2\sqrt{2}$
∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值為$2\sqrt{2}$；
法2：設與直線l平行的直線為l'：x+y+b=0．
當直線l'與圓C相切時，得$\frac{{|{1+1+b}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，解得b=0或b=-4（舍去）．
∴直線l'的方程為x+y=0．
那么：直線l與直線l'的距離為$d=\frac{{|{0+4}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$
故得曲線C上的點到直線l的距離的最大值為$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．