Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其中一個焦點F在直線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線和直線與橢圓分別相交于點、、、，求的值;

（3）若直線與橢圓交于P，Q兩點，試求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）8；

（3）1；

【解析】

（1）根據題意得到橢圓的一個焦點即為直線與軸的交點，從而求得，結合離心率，求得的值，進而求得，得到橢圓的方程；

（2）根據橢圓的定義和橢圓的對稱性，得到結果；

（3）將直線方程和橢圓的方程聯立，利用弦長公式和點到直線的距離，利用面積公式寫出三角形的面積，利用基本不等式求得最值，注意滿足判別式大于零的條件.

（1）橢圓的一個焦點即為直線與軸的交點，所以，

又離心率為則,，所以橢圓方程為；

（2）設橢圓的另一個焦點為, 由已知得:

（3）聯立直線與橢圓方程得,，

令，得設方程的兩根為，

則，，

由弦長公式得，，點到直線的距離，

當且僅當， 即或時取等號，而或滿足，

所以三角形面積的最大值為1.