Question

下面的數(shù)組均由三個(gè)數(shù)組成，它們是：（1，2，3）、（2，4，6）、（3，8，11）、（4，16，20）、（5，32，37）…（a_n，b_n，c_n）．
（1）數(shù)列{c_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式c_n=

2ⁿ+n

（n∈N*）；
（2）記M_n是數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和，則M₁₀=

2101

（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析：（1）分析每個(gè)數(shù)組的中間項(xiàng)，即b_n可得b_n=2ⁿ，再分析每一個(gè)數(shù)組中第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的關(guān)系，可得c_n=b_n+n，又由b_n=2ⁿ，可得答案，
（2））由（1）可得c_n=2ⁿ+n，用分組求和法可得M₁₀=（2¹+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+4+…+10），結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）分析每個(gè)數(shù)組的中間項(xiàng)，即b_n可得，b₁=2，b₂=4，b₃=8，b₄=16，…，易得b_n=2ⁿ ．
第一個(gè)數(shù)組中有c₁=b₁+1，
第二個(gè)數(shù)組中有c₂=b₂+2，
第三個(gè)數(shù)組中有c₃=b₃+3，
…
以此類(lèi)推，可得c_n=b_n+n，又由b_n=2ⁿ，則c_n=2ⁿ+n，
故答案為 2ⁿ+n．
（2）由（1）可得c_n=2ⁿ+n，
∴M₁₀=c₁+c₂+c₃+…+c₁₀=（2¹+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+4+…+10）=

2(1-210)

1-2

+

10(1+11)

2

=2101，
故答案為2101．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和，涉及歸納推理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納推理，得到c_n的關(guān)系式，屬于中檔題．