Question

（2011•成都模擬）已知等差數列{a_n²}中，首項a₁²=1，公差d=1，a_n＞0，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

an+1+an

，數列{b_n}的前n項和為T_n；
①求T₁₂₀；
②求證：當n＞3時，2

n

2

＞

2

T_n+

2

．

Answer 1

分析：（1）由等差數列{a_n²}的首項a₁²和公差d，利用等差數列的通項公式求出{a_n²}的通項公式，然后根據a_n大于0，開方可得數列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得{a_n}的通項公式代入b_n=

1

an+1+an

中，分母有理化化簡后即可得到數列{b_n}的通項公式，然后列舉出數列{b_n}的前120項的和，抵消化簡可得值．

解答：解：（1）∵{a_n²}是等差數列，等差d=1，首項a₁²=1，
∴a_n²=1+（n-1）×1=n，
又a_n＞0，
∴a_n=

n

；
（2）①∵b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
∴T₁₂₀=（

2

-1+（

3

-

2

）+…+（

121

-

120

）=

121

-1=10．
②∵Tn=

n+1

-1，要證當n＞3時，2

n

2

＞

2

T_n+

2

即證2

n

2

＞

2

•

n+1

，即證2ⁿ＞2n+2，
因為n＞3時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2，
∴當n＞3時，2

n

2

＞

2

T_n+

2

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式化簡求值，會進行數列的求和運算，是一道中檔題．