Question

已知函數f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）滿足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在實數m，使函數g（x）=f'（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，請求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（0）=0，∴d=0
∴
∵恒成立
顯然a=0時，上式不能恒成立∴是二次函數
由于對一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函數的性質可得
即．
（2）∵∴
∴
即
當，當．
（3）∵，∴
∴
該函數圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1．
假設存在實數m使函數區間[m．m+2]上有最小值-5．
①當m＜-1時，2m+1＜m，函數g（x）在區間[m，n+2]上是遞增的．
∴
解得∵，∴舍去
②當-1≤m＜1時，m≤2m+1＜m+2，函數g（x）在區間[m，2m+1]上是遞減的，
而在區間[2m+1，m+2]上是遞增的，∴g（2m+1）=-5．
即
解得，均應舍去
③當m≥1時，2m+1≥m+2，函數g（x）在區間[m，m+2]上遞減的∴g（m+2）=-5
即
解得應舍去．
綜上可得，當時，
函數g（x）=f'（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5．
分析：（1）待定系數法求函數解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三個方程，解出a、b、c
（2）一元二次不等式解法，注意根之間比較，考查分類討論思想
（3）考查二次函數最值問題，考查分類討論思想，對m進行討論，看對稱軸與區間的關系．
點評：本題考查導數的綜合運用，具體包含導數的計算、恒成立問題、不等式的解法、待定系數法求函數解析式、二次函數最值問題，分類討論思想，對學生有一定的能力要求，屬于難題．