Question

設(shè)a＞0，函數(shù) f（x）=

ex

x2+a

．
（Ⅰ）求函數(shù) f（x） 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng) x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x） 取得極值，證明：對(duì)于任意的 x₁，x₂∈[

1

2

，

3

2

]；|f（x₁）-f（x₂）|≤

3-e

3

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性
（Ⅱ）當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的值為零，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，求出函數(shù)的端點(diǎn)值，進(jìn)而求出最值．再根據(jù)函數(shù)兩最值之差最大，證明問(wèn)題

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

ex(x2+a-2x)

(x2+a)2

=

ex[(x-1)2+a-1]

(x2+a)2

（3分）
（1）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，即（x-1）²+a-1＞0，
解得x＜1-

1-a

，活x＞1+

1-a

．
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1-

1-a

）內(nèi)單調(diào)遞增，
在區(qū)間（1+

1-a

，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增．
令f′（x）＜0，即（x-1）²+a-1＜0，解得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

．
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1-

1-a

，1+

1-a

）內(nèi)單調(diào)遞減．（8分）
（Ⅱ）當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，
即f′（

1

2

）=0，∴（

1

2

）²+a-2×

1

2

=0，∴a=

3

4

由（Ⅰ）f（x）在（-∞，

1

2

）單調(diào)遞增，
在（1，

3

2

）單調(diào)遞減，（

3

2

，+∞）單調(diào)遞增．
f（x）在x=

1

2

時(shí)取得極大值f（

1

2

）=

e

；
f（x）在x=

3

2

時(shí)取得極小值f（

3

2

）=

e e

3

，
故在[

1

2

，

3

2

]上，f（x）的最大值是f（

1

2

）=

e

，
最小值是f（

3

2

）

e e

3

；
對(duì)于任意的x₁，x₂∈[

1

2

，

3

2

]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

3-e

3

e

（14分）

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)兩最值之差最大證明