Question

【題目】已知函數，其中e是自然對數的底數，．

（1）求函數的單調區間；

（2）設，討論函數零點的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）增區間是，減區間是.（2）見解析

【解析】

（1）求導函數，分別令，解出不等式，即可得到函數的單調區間；

（2）由 得方程 ，顯然 為此方程的一個實數解.當時, 方程可化簡為，設函數利用導數得到 的最小值, 因為，再對討論，得到函數的零點個數.

解：（1）因為，所以.

由得；由得.

所以由的增區間是，減區間是.

（2）因為.

由，得或.

設，又即不是的零點，

故只需再討論函數零點的個數.

因為，

所以當時，單調遞減；

當時，單調遞增.

所以當時，取得最小值.

①當即時，無零點；

②當即時， 有唯一零點；

③當，即時，因為，

所以在上有且只有一個零點.

令則.

設，

所以在上單調遞增，

所以，都有.

所以.

所以在上有且只有一個零點.

所以當時，有兩個零點

綜上所述，當時，有一個零點；

當時，有兩個零點；

當時，有三個零點.