Question

我們可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡單圖形①、②中體會這個原理．現在圖③中的曲線分別是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與x²+y²=a²，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為

abπ

．

Answer 1

分析：根據撥給原理的條件，先用平行于y軸的直線截橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與圓x²+y²=a²，可得出所截得線段的比都為

b

a

，再
根據所給的原理可知，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積是圓x²+y²=a²的面積的

b

a

倍．從而結合圓x²+y²=a²的面積公式即可得出橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積．

解答：解：圖③中的曲線分別是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與x²+y²=a²，如果用平行于y軸的直線截橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與圓x²+y²=a²，所截得線段的比都為

b

a

，
根據所給的原理可知，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積是圓x²+y²=a²的面積的

b

a

倍．
又圓x²+y²=a²的面積為a²π，
∴橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積是a²π×

b

a

=abπ．
故答案為：abπ．

點評：本題主要考查了類比推理，考查了新原理的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題．