Question

若方程x²-5x+m=0與x²-10x+n=0的四個根適當排列后，恰好組成一個首項1的等比數列，則m：n值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：由題意可知，兩個方程中的一個方程的一個根為1，然后逐一分析當1是第一個方程的根和是第二個方程的根的情況，由1是方程的一個根，利用根與系數的關系可求方程的另一個根，然后結合四個數是等比數列得到另一個方程根的取值情況，看分析得到的兩根是否滿足另一個方程即可．
解答：設1為第一個方程的根，那么顯然另一個根為4，m=4；
由于最終的四個數排列成為首項是1的等比數列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二個方程中兩根之和為10的情況，
所以經過檢驗，四個根應該為1，2，4，8，那么m=4，n=16．此時m：n=；
如果1是第二個方程的根，那么n=9，兩個根分別是1和9，
如果等比數列前兩項是1，9，則第三第四項不會是第一個方程的根，不符合題意，
那么就只有可能是第1項和第4項分別是1和9，那么在第一個方程中，兩根之積等于9，
但是此時方程無實數根 因此，此題只有唯一的解m：n=．
故選A．
點評：本題是一個等比數列同一元二次方程結合的題目，考查了一元二次方程的根與系數關系，考查了一元二次方程根的存在條件，解題過程體現了分類討論的數學思想，是基礎題．