Question

若方程x²-5x+m=0與 x²-10x+n=0的四個實根適當排列后，恰好組成一個首項為1的等比數列，則m：n的值為

1

4

．

Answer 1

分析：兩個方程中的一個方程的一個根為1，然后逐一分析當1是第一個方程的根或是第二個方程的根的情況，由1是方程的一個根，利用根與系數的關系可求方程的另一個根，然后結合四個數是等比數列得到另一個方程根的取值情況可得．

解答：解：設1為第一個方程的根，那么顯然另一個根為4，m=4；
由于最終的四個數排列成為首項是1的等比數列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二個方程中兩根之和為10的情況，
所以經過檢驗，四個根應該為1，2，4，8，那么m=4，n=16．此時m：n=

1

4

；
如果1是第二個方程的根，那么n=9，兩個根分別是1和9，
如果等比數列前兩項是1，9，則第三第四項不會是第一個方程的根，不符合題意，
那么就只有可能是第1項和第4項分別是1和9，那么在第一個方程中，兩根之積等于9，
但是此時方程無實數根 因此，此題只有唯一的解m：n=

1

4

．
故答案為：

1

4

點評：本題考查一元二次方程的根與系數關系，考查了一元二次方程根的存在條件，涉及分類討論的數學思想，屬中檔題．