Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且==.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；

(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，先求解直線ER與GR′的方程，進而聯(lián)立方程組得到其交點P，然后證明點與橢圓的位置關(guān)系。

（2）當(dāng)時，

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又  則直線的方程為        ①      2分

又 則直線的方程為           ②

由①②得

∵

∴直線與的交點在橢圓上              4分

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)

不妨取 ∴ ,不合題意    5分

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè) 

聯(lián)立方程 得

則

      7分

又

即

將代入上式得

解得或（舍）

∴直線過定點                      10分

∴，點到直線的距離為

∴

由及知：，令 即

∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時， 13分

考點：直線于橢圓的位置關(guān)系

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理來得到求解，屬于中檔題。主要是對于運算能力的考查。